Materias 7mo Semestre: septiembre 2012

jueves, 20 de septiembre de 2012

Entrada # 3

Laboratorio de Automatización y Control de Sistemas Dinámicos

Para esta semana, al igual que la anterior, consistió en elegir un problema y resolverlo.

El problema nos dice:

"Considere el que sistema que se muestra a continuación. Calcular la expresión del error en estado estacionario cuando están presentes tanto la señal de entrada de referencia R(s) como la entrada de perturbación D(s)."

Primeramente definir unos conceptos:

Entrada de Referencia.- Impulsos que se le dan al sistema para observar las salidas que tendrían el sistema.

Entrada de Perturbación.- Señales que tienden a afectar al sistema, afectan la salida del sistema; como esta señal es una entrada, por lo tanto esa es externa y se genera fuera del sistema.

Expresión de Error.- Es un valor que nos indica el rango que nos daria el sistema.

De nuestro problema tenemos los siguientes:

Entrada de Referencia R(s), Entrada de Perturbación D(s) y la Expresión de Error es E(s); C(s) seria la salida que produzca el sistema.

El problema nos pide encontrar la Expresión de Error en estado estacionario (No hay algo externo, aparte de lo mencionado, que pueda afectar la salida) cuando están presentes tanto la señal de entrada de referencia como la entrada de perturbación.

La Expresión de Error se calcula como la suma de salidas (La Esperada + la Producida en estado estacionario), en base a las variables y las definiciones tenemos:

La Esperada seria cuando solamente este presente la variable de referencia en el sistema (para este no incluiremos la de perturbación)

La Producida seria las salidas usando solamente la entrada de perturbación (ya que la referencia se vuelve constante y la de perturbación daría un resultado distinto).

Por lo tanto la ecuación de Error seria:

Y ya que como es estacionario tiene que ver con el tiempo nos queda que:

E(s) = E_e_e (t) = E_e_e_R (t) + E_e_e_D (t)

El siguiente paso seria solucionar cada uno de los errores, aquí comenzaremos por el de referencia.

Antes de encontrar cuando el de referencia sea estacionario primero habrá que determinarlo cuando no este así.

Este error se calcula como el valor de la referencia menos la salida producida por el efecto de este:

Teniendo que la salida de sistema es:

Tenemos que $\frac{C_R(s)}{R(s)} = \frac{G_1(s) G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)}$

Sustituyendo el error de la referencia en la ecuación.

$E_R(s) = R(s) - C_R(s) = R(s)[1 -\frac{C_R(s)}{R(s)}]$

$E_R(s) = R(s)[1 - \frac{G_1(s) G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)}]$

$E_R (s) = {[\frac{1}{1 + G_1(s) G_2(s)}R(s)]}$

Ya aplicandolo de forma estacionaria la de referencia

$E_e_e_R (t) = \displaystyle\lim_{t \to\infty}E_R(t) = \displaystyle\lim_{s \to\ 0} s E_R(s)$

$E_e_e_R (t) = \displaystyle\lim_{s \to\ 0} {s [\frac{1}{1 + G_1(s) G_2(s)}R(s)]}$

Ahora aplicando a las Perturbaciones

$E_D(s) = 0 - C_D(s) = - C_D(s) = - \frac{C_D(s)}{D(s)} D(s)$

Teniendo que: $\frac{C_D(s)}{D(s)} = \frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)}$

$E_D(s) = - \frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)} D(s)$

Sacando la forma estacionaria de las perturbaciones

$E_e_e_D (t) = \displaystyle\lim_{t \to\infty} E_D(t) = \displaystyle\lim_{s \to0} s E_D(s)$

$E_e_e_D (t) = \displaystyle\lim_{s \to0} [-\frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)} D(s)] s$

Sustituyendo las estacionarias:

$E_e_e (t) = \displaystyle\lim_{s \to\ 0} {s [\frac{1}{1 + G_1(s) G_2(s)}R(s)]} + \displaystyle\lim_{s \to0} [-\frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)} D(s)] s$

Referencias

http://www.slideshare.net/ptah_enki/definiciones-de-control-326816
http://isa.uniovi.es/docencia/raeuitig/tema1.pdf

Entrada # 6

Implementing the RSA algorithm in an HTTP (Authenticating Users)

For this week we have to implement the RSA algorithm into a web server.

Be has a user to validate your user name, for it makes use of the RSA algorithm, the server and the client need certain values (the server already has the information about your name and values of 'e' and 'n 'while the client would have' d 'and' n ').

The process would be the client requests a value of 'x' to the server, this does just that along with the link to download a script to determine the values of 'and' and 'r'.

The client downloads this file and determines the values mentioned above, then the client will provide the server user your name (as must be added, only find the name that is to avoid errors Language Script) together with the value of 'r '.

The server receives this data and using the user name extracts the values of 'e' and 'n' (for storing information this data can use files or databases) and together with the value of 'x' that provides the client.

Obtains two different 'y' (one with a specific function for us - this function is the same as in the script that I download the client - and by the formula r ^ e mod n) and compare these values, if these are the same you sends a message to the user indicating that authentication was successful.

Code in PHP
Script of Python Code of SQL

Vídeo mostrando la ejecución
En Proceso

jueves, 13 de septiembre de 2012

Entrada # 5

Implementación de la Autentificación RSA

En este código se hicieron todos los cálculos para encontrar los valores de n, d y e y los guarda en un archivo junto con los nombres de usuario.

Como logran ver los valores de d y de p y q fueron asignados por mí (Obviamente respetando las reglas).

El orden del texto es: Usuario, valor de e, valor de d y valor de n

Imágenes donde se determino el valor de d:

Después se muestra los códigos donde se hizo uso de los sockets

Cliente

Servidor

Referencias:

http://mundogeek.net/archivos/2008/04/12/sockets-en-python/
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos_entre_s%C3%AD
http://www.slideshare.net/jpadillaa/criptografia-asimetrica-rsa

martes, 11 de septiembre de 2012

Reporte # 1

Automatización y Control de Sistemas Dinámicos

Para esta ocasión hay que realizar la Función de Tranferencia de la idea del proyecto que tenemos contemplado para esta materia.

Primeramente en que consiste nuestro proyecto:

"Sera para el control del cautín, en especifico controlar la cantidad de temperatura que ha producido el cautín, para así regular la temperatura y evitar que ocurran incrementos que puedan dañar algún componente."

Entendido lo anterior, lo siguiente seria la función de transferencia:

Función de Transferencia: Función que nos permite relacionar la salida de un proceso, proyecto con la entrada de este.

La entradas y salidas serian acciones que produciría este proceso, comúnmente tienden a ser funciones o ecuaciones.

Para nuestro problema la entradas seria el cantidad de voltaje que entra al cautín para que este funcione, la temperatura, la masa de este y el material de la punta del cautín; la salida sería el calor y la temperatura del cautín.

De los valores anteriores solo del calor y de la intensidad de voltaje necesitaremos sus formulas.

Calor

$Calor (Q) = cm\Delta T$

Q = Calor producido
c = Calor especifico del material la punta
m = masa del cautín.
$\Delta T$ = Diferencia de Temperatura (Temperatura Final del cautín - Temperatura inicial del cautín)

Voltaje

$I = \frac{V}{R}$

I = Intensidad
V = Voltaje conectado al cautín
R = Resistencia (Seria la resistencia del material del cautín)

De la ecuación:

$G(s) \Rightarrow{L\left\{{G(t)}\right\} = {\frac{L\left\{{Y(t) = Salida}\right\}}{L\left\{{X(t) = Entrada}\right\}}}$

$G(s) = \frac{Y(s) = Salida}{X(s) = Entrada}$

Ahora aplicando esto a mi problema:

Tenemos que:

~~$G(t) = \frac{Y(t)}{X(t)}$~~

Y también que:

$Y = \frac{V}{R}$
$X = cm\Delta T$

Ahora sustituimos los valores de Y y X en G(t), teniendo:

$G(t) = \frac{\frac{V(t)}{R}}{cm\Delta T(t)}$

Después aplicamos la regla de medios por medios y extremos por extremos y aplicando la transformada de Laplace en G(t).

$G(t) = \frac{V(t)}{cm\Delta T(t) R}$

$L\left\{G(t)}\right\} = L\left\{{\frac{V(t)}{cm\Delta T(t) R}}\right\}$

Nos queda, la función de transferencia:

$G(s) = L\left\{{\frac{V(t)}{cm\Delta T (t) R}}\right\}$

$G(s) = {\frac{V(s)}{cm\Delta T(s) R}}$

Referencias

http://www.fing.edu.uy/iq/cursos/dcp/teorico/7_FUNCION_DE_TRANSFERENCIA_PRIMER_ORDEN.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Electricidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica
Tabla de Calores Específicos
Tabla de Resistencias

jueves, 6 de septiembre de 2012

Entrada # 2

Laboratorio de Automatización y Control de Sistemas Dinámicos

Para esta semana consistió en elegir un problema y resolverlo:

Resolver la siguiente ecuación diferencial:

Con las siguientes características:

Primeramente explicar algunas expresiones que vienen en el problema:

ẍ = Segunda Derivada

= Primera Derivada

Wn = Frecuencia Natural (Para mi problema sera tratado como constante)

$\zeta$ = Factor de amortiguamiento

Por lo tanto la ecuación podría expresarse como:

$X'' + 2 \zeta WnX' + W²nX = 0$

Para resolverlo seria mediante las Transformadas de Laplace.

$L\left\{{X''}\right\} + 2 \zeta Wn L\left\{{X'}\right\} + W²n L\left\{{X}\right\}$

Teniendo que:

L{X''} = s²x(s) - sx(0) - x'(0)
L{X'} = sx(s) - s¹⁻¹x(0) = sx(s) - 1*x(0) = sx(s) - x(0)
L{X} = s¹⁻¹ x(s) = s⁰x(s) = 1*x(s) = x(s)

Nos da como resultado:

$s²x(s) - sx(0) - x'(0) + 2 \zeta Wn[sx(s) - x(0)] + Wn²[x(s)]$

$s²x(s) - sx(0) - x'(0) + 2 \zeta Wn[sx(s)] - 2 \zeta Wnx(0) + Wn²[x(s)]$

Sustituyendo los valores de x' y de x'' en la ecuación anterior:

$s²x(s) - sa - b + 2 \zeta Wnsx(s) - 2 \zeta Wna + Wn²[x(s)]$

$s²[x(s)] - as - b + 2 \zeta Wn s[x(s)] - 2 \zeta Wna + Wn²[x(s)]$

$x(s)[s²x + 2 \zeta Ws + Wn²] = as + b + 2 \zeta Wna$

$x(s) = \frac{as + b + 2 \zeta Wn a}{s² + 2 \zeta Wns + Wn²}$

Hay que factorizar el denominador la forma sencilla para mi es mediante la formula para resolver ecuaciones de 2do grado.

Esta formula es:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

De ahí tenemos que:

$b = 2 \zeta Wn$

Sustituyendo en la ecuación tenemos:

$s = \frac{-2 \delta Wn \pm \sqrt[2]{(2 \zeta Wn)² - 4(1) (Wn²)} }{2(1)}$

Resolviéndolo:

$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm \sqrt[2]{(2 \zeta Wn)²-4(1)(Wn²)}}{2(1)}$
$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm \sqrt[2]{4 \zeta² Wn²-4Wn²}}{2}$
$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm \sqrt[2]{4 (\zeta² Wn²-Wn²)}}{2}$
$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm \sqrt[2]{4}\sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²}}{2}$
$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm (2)\sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²}}{2}$
$s = -\zeta Wn \pm \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²}$

Como ya no se puede simplificar más la factorización es igual a:

$(s + \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})(s + \zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})$

Sustituyendo esto en la ecuación original:

$x(s) = \frac{as + b + 2 \zeta Wna}{(s + \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})(s + \zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})}$

Para que las operaciones se nos resulten mas fácil y los estos son constantes los sustituimos por variables:

$x = \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})$
$y = \zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})$
$z = b + 2 \zeta Wna$

Por lo tanto nos queda:

$x(s) = \frac{as + z}{(s + x)(s + y)}$

Aplicando fracciones parciales:

$x(s) = \frac{A}{(s + x)}\frac{B}{(s + y)}$

Tenemos que:

$A = \displaystyle\lim_{s \to{-}x}{\frac{as+Z}{s+y}} = \frac{a(-x)+Z}{-x+y} = \frac{Z-ax}{y-x}$

$B = \displaystyle\lim_{s \to{-}y}{\frac{as+z}{s+x}} = \frac{a(-y)+z}{-y+x} = \frac{z-ay}{x-y}$

Sustituyendo los valores de A y B en la ecuación original tenemos:

$x(s) = (\frac{z - ax}{y-x})(\frac{1}{s+x})+(\frac{z - ay}{x-y})(\frac{1}{s+y})$

A continuación aplicamos la transformada inversa de laplace a la ecuación, ya que las variables x, y y z son constantes solo sera hará con los términos de s:

$x(t) = (\frac{z - ax}{x-y})L^-1 \left\{{(\frac{1}{s+x})}\right\}x^n+(\frac{z - ay}{x-y})L^-1 \left\{(\frac{1}{s+y})\right\}$

Resultado:

$x(t) = (\frac{z - ax}{y-x})e^-xt+(\frac{z - ay}{x-y})e^-yt$

Sustituyendo los valores de x, y y z en la ecuación:

$x(t) = (\frac{ b + 2 \zeta Wna - a( \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})}{(\zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})-( \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})})e^-( \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})t+(\frac{ b + 2 \zeta Wna - a(\zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})}{( \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})-y})e^-(\zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})t$

Referencias:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/docs/cap6.pdf