Materias 7mo Semestre: Entrada # 2

Laboratorio de Automatización y Control de Sistemas Dinámicos

Para esta semana consistió en elegir un problema y resolverlo:

Resolver la siguiente ecuación diferencial:

Con las siguientes características:

Primeramente explicar algunas expresiones que vienen en el problema:

ẍ = Segunda Derivada

= Primera Derivada

Wn = Frecuencia Natural (Para mi problema sera tratado como constante)

$\zeta$ = Factor de amortiguamiento

Por lo tanto la ecuación podría expresarse como:

$X'' + 2 \zeta WnX' + W²nX = 0$

Para resolverlo seria mediante las Transformadas de Laplace.

$L\left\{{X''}\right\} + 2 \zeta Wn L\left\{{X'}\right\} + W²n L\left\{{X}\right\}$

Teniendo que:

L{X''} = s²x(s) - sx(0) - x'(0)
L{X'} = sx(s) - s¹⁻¹x(0) = sx(s) - 1*x(0) = sx(s) - x(0)
L{X} = s¹⁻¹ x(s) = s⁰x(s) = 1*x(s) = x(s)

Nos da como resultado:

$s²x(s) - sx(0) - x'(0) + 2 \zeta Wn[sx(s) - x(0)] + Wn²[x(s)]$

$s²x(s) - sx(0) - x'(0) + 2 \zeta Wn[sx(s)] - 2 \zeta Wnx(0) + Wn²[x(s)]$

Sustituyendo los valores de x' y de x'' en la ecuación anterior:

$s²x(s) - sa - b + 2 \zeta Wnsx(s) - 2 \zeta Wna + Wn²[x(s)]$

$s²[x(s)] - as - b + 2 \zeta Wn s[x(s)] - 2 \zeta Wna + Wn²[x(s)]$

$x(s)[s²x + 2 \zeta Ws + Wn²] = as + b + 2 \zeta Wna$

$x(s) = \frac{as + b + 2 \zeta Wn a}{s² + 2 \zeta Wns + Wn²}$

Hay que factorizar el denominador la forma sencilla para mi es mediante la formula para resolver ecuaciones de 2do grado.

Esta formula es:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

De ahí tenemos que:

$b = 2 \zeta Wn$

Sustituyendo en la ecuación tenemos:

$s = \frac{-2 \delta Wn \pm \sqrt[2]{(2 \zeta Wn)² - 4(1) (Wn²)} }{2(1)}$

Resolviéndolo:

$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm \sqrt[2]{(2 \zeta Wn)²-4(1)(Wn²)}}{2(1)}$
$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm \sqrt[2]{4 \zeta² Wn²-4Wn²}}{2}$
$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm \sqrt[2]{4 (\zeta² Wn²-Wn²)}}{2}$
$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm \sqrt[2]{4}\sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²}}{2}$
$s = \frac{-2 \zeta Wn \pm (2)\sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²}}{2}$
$s = -\zeta Wn \pm \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²}$

Como ya no se puede simplificar más la factorización es igual a:

$(s + \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})(s + \zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})$

Sustituyendo esto en la ecuación original:

$x(s) = \frac{as + b + 2 \zeta Wna}{(s + \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})(s + \zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})}$

Para que las operaciones se nos resulten mas fácil y los estos son constantes los sustituimos por variables:

$x = \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})$
$y = \zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})$
$z = b + 2 \zeta Wna$

Por lo tanto nos queda:

$x(s) = \frac{as + z}{(s + x)(s + y)}$

Aplicando fracciones parciales:

$x(s) = \frac{A}{(s + x)}\frac{B}{(s + y)}$

Tenemos que:

$A = \displaystyle\lim_{s \to{-}x}{\frac{as+Z}{s+y}} = \frac{a(-x)+Z}{-x+y} = \frac{Z-ax}{y-x}$

$B = \displaystyle\lim_{s \to{-}y}{\frac{as+z}{s+x}} = \frac{a(-y)+z}{-y+x} = \frac{z-ay}{x-y}$

Sustituyendo los valores de A y B en la ecuación original tenemos:

$x(s) = (\frac{z - ax}{y-x})(\frac{1}{s+x})+(\frac{z - ay}{x-y})(\frac{1}{s+y})$

A continuación aplicamos la transformada inversa de laplace a la ecuación, ya que las variables x, y y z son constantes solo sera hará con los términos de s:

$x(t) = (\frac{z - ax}{x-y})L^-1 \left\{{(\frac{1}{s+x})}\right\}x^n+(\frac{z - ay}{x-y})L^-1 \left\{(\frac{1}{s+y})\right\}$

Resultado:

$x(t) = (\frac{z - ax}{y-x})e^-xt+(\frac{z - ay}{x-y})e^-yt$

Sustituyendo los valores de x, y y z en la ecuación:

$x(t) = (\frac{ b + 2 \zeta Wna - a( \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})}{(\zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})-( \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})})e^-( \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})t+(\frac{ b + 2 \zeta Wna - a(\zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})}{( \zeta Wn - \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})-y})e^-(\zeta Wn + \sqrt[2]{\zeta² Wn²-Wn²})t$