Materias 7mo Semestre: noviembre 2012

Esta actividad la hice solo ya que mi compañero me dejo solo.

Pdf del Reporte en LaTex.
https://www.dropbox.com/s/7kt9y94e86kh0p7/entrada.pdf

Código del Pdf

	\documentclass[a4paper,12pt]{article}

	\usepackage[utf8]{inputenc} %\Para que agarren los acentos
	\usepackage[activeacute,spanish]{babel}
	\usepackage{graphicx}
	\usepackage{schemabloc}
	\usetikzlibrary{circuits}
	\begin{document}
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Reporte Sobre Propiedades Estructurales\\ }
	\end{center}

	\begin{center}
	{\LARGE\bf Introducción\\ }
	\end{center}

	\\
	\\
	El proyecto que se pretende realizar consiste en diseñar un sistema para el control del cautín, en especifico controlar la cantidad de temperatura que ha producido el cautín, para poder regular la temperatura que se produce así evitar que ocurra algún sobrecalentamiento con el cuál se podria dañar algún componente.

	\\
	\\
	En este sistema las personas podrán controlar la temperatura limite a la cuál podra llegar el cautín, también contara de un componente con el cuál se nos avisara cuando el cautín este cerca del limite de la temperatura elegida; a su vez tendra una especie de alarma o algo mediante el cuál nos avisara cuando halla llegado a la temperatura inidicada.

	\\
	\\
	La ecuación de transferencia diseñada para el sistema es el siguiente:

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Latex1.png}
	\caption{Transferencia}
	\end {center}
	\end{figure}

	\\
	\\
	De los datos que requiere esta función la temperatura inicial y el calor son proporcionadas por nosotros, como el calor se obtiene mediante una ecuación, requeriremos los valores de la masa, el calor especifico del cautín sumado a la temperatura inicial.

	\\
	\\
	Teniendo como temperatura inicial: To = 20

	\\
	\\
	Tenemos:

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Latex2.png}
	\caption{Calor}
	\end {center}
	\end{figure}

	\\
	\\
	De este la masa es la del cautín y el calor específico es un valor que depende del material del que este hecho la punta (cobre en este caso).

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Latex3.png}
	\caption{Calor2}
	\end {center}
	\end{figure}

	\\
	\\
	Ya teniendo el dato del calor, lo sustituiremos junto con el valor de la temperatura, la ecuación que sera utilizada para los estados es la siguiente:

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Latex4.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}

	\begin{center}
	{\LARGE\bf Diagrama de Bloques\\ }
	\end{center}

	\begin{tikzpicture}
	\sbBloc{b}{$xsT(s)$}{a}
	\sbBloc{c}{$1/s$}{b}
	\sbRelier[]{a}{b}
	\sbRelier[$R(s)$]{E}{a}
	\sbRelier[]{E}{b}
	\sbComph{d}{c}
	\sbComph{c1}{d}
	\sbRelier{d}{c1}
	\sbSortie[6]{S1}{d}
	\sbRelier{c1}{S1}
	\sbNomLien[1.5]{S1}{$C(s)$}
	\sbDecaleNoeudy[-4]{c1}{u}
	\sbDecaleNoeudy{e}{v}
	\sbBlocr{r2}{$sQ(s)$}{v}
	\sbBlocr{r3}{$-To$}{r2}
	\sbRelieryx{S1}{r2}
	\sbRelierxy{b}{d}
	\sbRelier{c}{d}
	\sbRelier{r2}{r3}
	\sbRelier[retroalimentacion]{r3}{a}
	\curvearrowright
	\end{tikzpicture}

	\begin{center}
	{\LARGE\bf Sistemas de Estados\\ }
	\end{center}

	\\
	\\
	Un sistema comunmente contienen muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí de tal forma que el analizarlas resulta muy complicado.

	\\
	\\
	Uno de los metodos para poder analizarlo es el hacerlo lo mas sencillo (reducir la complejidad), comunmente se hace esto mediante expreciones matematicas.

	\\
	\\
	Para este problema haremos uso solamente de dos formas; de cada forma tenemos que demostrarla con nuestro problema, o sea demostrar nuestra función en cada una de estas formas.

	\begin{center}
	{\LARGE\bf Canónica Controlable\\ }
	\end{center}

	\\
	\\
	Sabemos que la forma típica de representar una ecuación diferencial de orden n es por la forma canónica controlable y Variables de estado se obtienen de tal manera.

	\\
	\\
	Para la forma canonica controlable los bloques de los integradores estan unidos uno detras del otro.

	\\
	\\
	Este forma a su vez se divida en 3: Forma Canónica, Forma Observable y Forma Diagonal.

	\begin{center}
	{\LARGE\bf Forma Canónica\\ }
	\end{center}

	\\
	\\
	Teniendo la ecuación:

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Controlable1.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}

	\\
	\\
	La forma canónica sería:

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Controlable2.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}

	\\
	\\
	Y esta a su vez seria de esta forma:

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Controlable3.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}

	\\
	\\
	De nuestro problema obtenemos lo siguiente:

	$$Y =
	\left [
	\begin{array}{c}
	b_0 = 20 \\
	b_1 = 1 \\
	a_0 = -0.0131 \\
	a_1 = -20
	\end{array}
	\right ]

	\linebreak

	\begin{center}
	\begin{align*}
	\left[
	\begin{array}{c}
	\dot{x_1} \\
	\dot{x_2}
	\end{array}
	\right]\text{=}
	\left[
	\begin{array}{c}
	0\ \ 1\\
	-20\ \ -0.0131
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+}
	\left[
	\begin{array}{c}
	0\\
	1
	\end{array}
	\right]\text{u}
	\end{align*}

	\linebreak

	\begin{align*}
	y =
	\left[
	\begin{array}{c}
	1 \ \ -20
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+ u}
	\end{align*}
	$$
	\end{center}

	\begin{center}
	{\LARGE\bf Forma Observable\\ }
	\end{center}

	\\
	\\
	Para obtener la forma observable se realiza pasos parecidos al anterior.

	Tenemos las siguiente ecuacion:

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Observable1.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Observable2.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}

	$$Y =
	\left [
	\begin{array}{c}
	b_0 = 20 \\
	b_1 = 1 \\
	a_0 = -0.0131 \\
	a_1 = -20
	\end{array}
	\right ]

	\begin{center}
	\begin{align*}
	\left[
	\begin{array}{c}
	\dot{x_1} \\
	\dot{x_2}
	\end{array}
	\right]\text{=}
	\left[
	\begin{array}{c}
	0\ \ \ 20\\
	1\ \ 0.0131
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+}
	\left[
	\begin{array}{c}
	1\\
	20
	\end{array}
	\right]\text{u}
	\end{align*}

	\linebreak
	\begin{align*}
	y =
	\left[
	\begin{array}{c}
	0 \ \ 1
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+ u}
	\end{align*}
	$$

	\begin{center}
	{\LARGE\bf Forma Diagonal\\ }
	\end{center}

	\\
	\\
	Para obtener la forma diagonal tenemos que hacer uso de la función de tranferencia aplicandola con fracciones parciales, para poder obtener las raíces de los denominadores y los valores de los numeradores.

	\\
	\\
	Para fines practicos del proceso se cambio la ecuación del numerador por 20s² + 1.

	\\
	\\
	Primeramente hay que obtener las raíces estas son dadas vía octave.

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Diagonal5.png}
	\caption{Octave}
	\end {center}
	\end{figure}

	Ya despues tenemos con las siguientes ecuaciones

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Diagonal3.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}

	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Diagonal4.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}

	\\
	\\
	Ya sustituyendo y obteniendo las ecuaciones:

	$$
	\begin{align*}
	\left[
	\begin{array}{c}
	\dot{x_1} \\
	\dot{x_2}
	\end{array}
	\right]\text{=}
	\left[
	\begin{array}{c}
	0\ \ \ 0\\
	0\ \ -1.5267e+03
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+}
	\left[
	\begin{array}{c}
	1\\
	1
	\end{array}
	\right]\text{u}
	\end{align*}

	\linebreak

	\begin{align*}
	y =
	\left[
	\begin{array}{c}
	-5.0000e-02 \ \ 2.3309e+06
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+ u}
	\end{align*}
	$$

	\begin{center}
	{\LARGE\bf Jordan\\ }
	\end{center}

	Un sistema dinámico que se expresa como una ecuación de estado A,B,C,D se puede expresar en la forma canónica de Jordan mediante la transformación de similitud dada por la matriz modal obtenida por los valores propios y vectores propios de la matriz A.

	\end{document}

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Código de las imágenes.

	G(s) = \frac{sT(s) + \frac{1}{s}}{sQ(s) - To} - Latex1
	G(s) = \frac{(20s + 1)}{(3s + 20)}
	Q = m * c * \delta T - Latex2
	Q = 0.0017 * 0.385 * (0 - 20) = 0.0017 * 0.385 * -20 = -0.0131 - Latex3
	\frac{20s + \frac{1}{s}}{.0.0131s - 20} - Latex4

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Laboratorio de Automatización y Control de Sistemas Dinámicos

Para esta semana consistió en elegir un problema y resolverlo, el elegido es el siguiente:

Considere el sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto: Dibuje los diagramas polares directo e inverso de G(s)H(s) con K = 1 y K = 10.

Aplique el criterio de estabilidad de Nyquist a las gráficas y determine la estabilidad del sistema con estos valores de K.

Primeramente que son los siguientes conceptos:

Diagrama Polar

Representación de la función de transferencia senoidal, G( jω) , en coordenadas polares, para
variaciones de ω entre 0 e ∞

Son conocidos también como Diagrama de Nyquist.

Criterio de Nyquist

Medio encargado en estudiar la estabilidad en el dominio de la frecuencia.

Relaciona la respuesta en frecuencia de lazo abierto con el número de polos y ceros de la ecuación característica ubicados en el SPD.

Referente al problema hay que considerar unos puntos:

Para obtener el resultado de Nyquist, existe una función en Octave, mediante el paquete signal, que se llama nyquist().

Aquí incluyo el código en Octave:

	#G(s)H(s) = 10K * (s + 0.5)/s²(s + 2)(s + 10)

	function Problema812
	pkg load signal

	%Dependiendo de cuál quiere revizar
	parte1();
	%parte2();
	endfunction

	function parte1
	%s^4 + 12 s^3 + 20 s^2
	% 10 s + 5

	%K = 1
	num = [10 5]
	den = [1 12 20 0 0]
	sys1 = tf(num, den)

	nyquist(sys1)
	hold off;
	endfunction

	function parte2
	%s^4 + 12 s^3 + 20 s^2
	% 100 s + 50
	%K = 10;
	num = [10 5]
	den = [1 12 20 0 0]
	sys2 = tf(num, den);
	sys2 = tf(1/sys2)

	nyquist(sys2);
	hold off;
	endfunction

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Imagenes del resultado:

con K = 1

con K = 10

Observando las gráficas vemos que las dos están de 0 a -infinito por lo tanto las dos gráficas son estables.

Referencias:

http://www.disa.bi.ehu.es/spanish/profesores-etsi-bilbo/~jtpirgoe/Tema_7_Diagrama_Nyquist%20.pdf

Materias 7mo Semestre

Materias

martes, 20 de noviembre de 2012

Entrada Final

jueves, 15 de noviembre de 2012

Entrada # 6

martes, 13 de noviembre de 2012

Reporte Propiedades Estructurales

martes, 6 de noviembre de 2012

Puntos Extra

jueves, 1 de noviembre de 2012

Entrada # 5