Reporte Propiedades Estructurales

Esta actividad la hice solo ya que mi compañero me dejo solo.

Pdf del Reporte en LaTex.
https://www.dropbox.com/s/7kt9y94e86kh0p7/entrada.pdf

Código del Pdf

	\documentclass[a4paper,12pt]{article}
	\usepackage[utf8]{inputenc} %\Para que agarren los acentos
	\usepackage[activeacute,spanish]{babel}
	\usepackage{graphicx}
	\usepackage{schemabloc}
	\usetikzlibrary{circuits}
	\begin{document}
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Reporte Sobre Propiedades Estructurales\\ }
	\end{center}
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Introducción\\ }
	\end{center}
	\\
	\\
	El proyecto que se pretende realizar consiste en diseñar un sistema para el control del cautín, en especifico controlar la cantidad de temperatura que ha producido el cautín, para poder regular la temperatura que se produce así evitar que ocurra algún sobrecalentamiento con el cuál se podria dañar algún componente.
	\\
	\\
	En este sistema las personas podrán controlar la temperatura limite a la cuál podra llegar el cautín, también contara de un componente con el cuál se nos avisara cuando el cautín este cerca del limite de la temperatura elegida; a su vez tendra una especie de alarma o algo mediante el cuál nos avisara cuando halla llegado a la temperatura inidicada.
	\\
	\\
	La ecuación de transferencia diseñada para el sistema es el siguiente:
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Latex1.png}
	\caption{Transferencia}
	\end {center}
	\end{figure}
	\\
	\\
	De los datos que requiere esta función la temperatura inicial y el calor son proporcionadas por nosotros, como el calor se obtiene mediante una ecuación, requeriremos los valores de la masa, el calor especifico del cautín sumado a la temperatura inicial.
	\\
	\\
	Teniendo como temperatura inicial: To = 20
	\\
	\\
	Tenemos:
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Latex2.png}
	\caption{Calor}
	\end {center}
	\end{figure}
	\\
	\\
	De este la masa es la del cautín y el calor específico es un valor que depende del material del que este hecho la punta (cobre en este caso).
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Latex3.png}
	\caption{Calor2}
	\end {center}
	\end{figure}
	\\
	\\
	Ya teniendo el dato del calor, lo sustituiremos junto con el valor de la temperatura, la ecuación que sera utilizada para los estados es la siguiente:
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Latex4.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Diagrama de Bloques\\ }
	\end{center}
	\begin{tikzpicture}
	\sbBloc{b}{$xsT(s)$}{a}
	\sbBloc{c}{$1/s$}{b}
	\sbRelier[]{a}{b}
	\sbRelier[$R(s)$]{E}{a}
	\sbRelier[]{E}{b}
	\sbComph{d}{c}
	\sbComph{c1}{d}
	\sbRelier{d}{c1}
	\sbSortie[6]{S1}{d}
	\sbRelier{c1}{S1}
	\sbNomLien[1.5]{S1}{$C(s)$}
	\sbDecaleNoeudy[-4]{c1}{u}
	\sbDecaleNoeudy{e}{v}
	\sbBlocr{r2}{$sQ(s)$}{v}
	\sbBlocr{r3}{$-To$}{r2}
	\sbRelieryx{S1}{r2}
	\sbRelierxy{b}{d}
	\sbRelier{c}{d}
	\sbRelier{r2}{r3}
	\sbRelier[retroalimentacion]{r3}{a}
	\curvearrowright
	\end{tikzpicture}
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Sistemas de Estados\\ }
	\end{center}
	\\
	\\
	Un sistema comunmente contienen muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí de tal forma que el analizarlas resulta muy complicado.
	\\
	\\
	Uno de los metodos para poder analizarlo es el hacerlo lo mas sencillo (reducir la complejidad), comunmente se hace esto mediante expreciones matematicas.
	\\
	\\
	Para este problema haremos uso solamente de dos formas; de cada forma tenemos que demostrarla con nuestro problema, o sea demostrar nuestra función en cada una de estas formas.
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Canónica Controlable\\ }
	\end{center}
	\\
	\\
	Sabemos que la forma típica de representar una ecuación diferencial de orden n es por la forma canónica controlable y Variables de estado se obtienen de tal manera.
	\\
	\\
	Para la forma canonica controlable los bloques de los integradores estan unidos uno detras del otro.
	\\
	\\
	Este forma a su vez se divida en 3: Forma Canónica, Forma Observable y Forma Diagonal.
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Forma Canónica\\ }
	\end{center}
	\\
	\\
	Teniendo la ecuación:
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Controlable1.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}
	\\
	\\
	La forma canónica sería:
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Controlable2.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}
	\\
	\\
	Y esta a su vez seria de esta forma:
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Controlable3.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}
	\\
	\\
	De nuestro problema obtenemos lo siguiente:
	$$Y =
	\left [
	\begin{array}{c}
	b_0 = 20 \\
	b_1 = 1 \\
	a_0 = -0.0131 \\
	a_1 = -20
	\end{array}
	\right ]
	\linebreak
	\begin{center}
	\begin{align*}
	\left[
	\begin{array}{c}
	\dot{x_1} \\
	\dot{x_2}
	\end{array}
	\right]\text{=}
	\left[
	\begin{array}{c}
	0\ \ 1\\
	-20\ \ -0.0131
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+}
	\left[
	\begin{array}{c}
	0\\
	1
	\end{array}
	\right]\text{u}
	\end{align*}
	\linebreak
	\begin{align*}
	y =
	\left[
	\begin{array}{c}
	1 \ \ -20
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+ u}
	\end{align*}
	$$
	\end{center}
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Forma Observable\\ }
	\end{center}
	\\
	\\
	Para obtener la forma observable se realiza pasos parecidos al anterior.
	Tenemos las siguiente ecuacion:
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Observable1.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Observable2.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}
	$$Y =
	\left [
	\begin{array}{c}
	b_0 = 20 \\
	b_1 = 1 \\
	a_0 = -0.0131 \\
	a_1 = -20
	\end{array}
	\right ]
	\begin{center}
	\begin{align*}
	\left[
	\begin{array}{c}
	\dot{x_1} \\
	\dot{x_2}
	\end{array}
	\right]\text{=}
	\left[
	\begin{array}{c}
	0\ \ \ 20\\
	1\ \ 0.0131
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+}
	\left[
	\begin{array}{c}
	1\\
	20
	\end{array}
	\right]\text{u}
	\end{align*}
	\linebreak
	\begin{align*}
	y =
	\left[
	\begin{array}{c}
	0 \ \ 1
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+ u}
	\end{align*}
	$$
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Forma Diagonal\\ }
	\end{center}
	\\
	\\
	Para obtener la forma diagonal tenemos que hacer uso de la función de tranferencia aplicandola con fracciones parciales, para poder obtener las raíces de los denominadores y los valores de los numeradores.
	\\
	\\
	Para fines practicos del proceso se cambio la ecuación del numerador por 20s² + 1.
	\\
	\\
	Primeramente hay que obtener las raíces estas son dadas vía octave.
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Diagonal5.png}
	\caption{Octave}
	\end {center}
	\end{figure}
	Ya despues tenemos con las siguientes ecuaciones
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Diagonal3.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}
	\begin{figure} [h]
	\begin {center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Diagonal4.png}
	\caption{Ecuacion}
	\end {center}
	\end{figure}
	\\
	\\
	Ya sustituyendo y obteniendo las ecuaciones:
	$$
	\begin{align*}
	\left[
	\begin{array}{c}
	\dot{x_1} \\
	\dot{x_2}
	\end{array}
	\right]\text{=}
	\left[
	\begin{array}{c}
	0\ \ \ 0\\
	0\ \ -1.5267e+03
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+}
	\left[
	\begin{array}{c}
	1\\
	1
	\end{array}
	\right]\text{u}
	\end{align*}
	\linebreak
	\begin{align*}
	y =
	\left[
	\begin{array}{c}
	-5.0000e-02 \ \ 2.3309e+06
	\end{array}
	\right]
	\left[
	\begin{array}{c}
	x_1 \\
	x_2
	\end{array}
	\right]\text{+ u}
	\end{align*}
	$$
	\begin{center}
	{\LARGE\bf Jordan\\ }
	\end{center}
	Un sistema dinámico que se expresa como una ecuación de estado A,B,C,D se puede expresar en la forma canónica de Jordan mediante la transformación de similitud dada por la matriz modal obtenida por los valores propios y vectores propios de la matriz A.
	\end{document}

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Código de las imágenes.

	G(s) = \frac{sT(s) + \frac{1}{s}}{sQ(s) - To} - Latex1
	G(s) = \frac{(20s + 1)}{(3s + 20)}
	Q = m * c * \delta T - Latex2
	Q = 0.0017 * 0.385 * (0 - 20) = 0.0017 * 0.385 * -20 = -0.0131 - Latex3
	\frac{20s + \frac{1}{s}}{.0.0131s - 20} - Latex4

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